$2x=3$のような式を等式と呼びます。
$2x>3$のような式を不等式と呼びます。
これらは、簡単な等式と不等式の例です。
もっと複雑な等式や不等式もたくさんあります。
いろいろな問題は、等式や不等式をつかって表現することができ、そして、その等式や不等式の解がその問題の答えとなっています。
等式、不等式を解くということは、ある問題を解くというのと同じに意味をもつのです。
それでは、等式、不等式を解くとはどういうことを意味しているのでしょうか？
方程式とは
方程式は多様な意味で使われているようですが、ここでは、等式と同義の意味ととらえてかまいません。
ニュアンスとして私は、方程式は等式よりも一般的な意味で使用し、等式は方程式の特別な場合と考えています。
そういう意味で、私は、不等式も方程式の一部と考えていますが、混乱をさけるために、習慣的な使い方を優先し、方程式といえば等式を指す事としています。
まれに、等号を強調する式の場合に、その式を等式と呼ぶこともありますが、通常は等式のことを方程式と呼びます。
これは二次方程式や連立方程式のように様々な等式が方程式と呼ばれているからです。
等式にはいろいろな種類がありますが、その特徴は
- 等式である
- 未知の変数がある
の２点です。
等式とは等号記号「$=$」を含んだ式のことで等号記号の左側の式を左辺、右側の式を右辺と呼びます。
$2x=3$の例では、左辺は「$2x$」、右辺は「$3$」となります。
未知の変数とは、$2x=3$の例でいうと「$x$」の事です。
習慣的に未知の変数は「$x$」で表し、逆に「$x$」が式の中にある場合は未知の変数と暗黙に示されていることが多いです。
変数が複数個あることもあります。
２つ目の変数、３つ目の変数としては、習慣的に$y$,$z$が使われます。
もっと一般的に複数個の変数を扱う場合には、添え字をつかって
$x_1,x_2,\cdots,x_n$のようにして$n$個の変数を表します。
また、方程式が、複数の等式や不等式によってあらわされることもあります。
不等式とは
簡単にいうと、等式の等号部分が不等号になった式を不等式と呼びます。
不等号(記号)には、「$>$」と「$<$」があります。
$2x=3$の等号$=$を不等号$>$に置き換えると、$2x>3$となりますから、$2x>3$は不等式です。
$2x>3$という不等式があったとき、あらたな変数$y$を用意して、$y=2x-3$と置くと、不等式$2x>3$は$2x=3+y$という等式に置き換わります。
このように$y>0$という制約がついた新たに変数$y$を追加することによって、
不等式を等式に置き換えることができます。
不等式は、変数を一つ追加することで等式に置き換えることができるので、等式の性質をつかって不等式を解くことも一つの手段ですが、一般的には、等式と不等式のアプローチはかなり異なっています。
代入と方程式(もしくは不等式)の解
未知の変数にはいろいろな数値を代入することができます。
代入とは未知の変数を数値で置き換えることです。
例えば、$2x=3$の変数$x$を$5$で置き換えると、左辺は「2×5」となり「10」と計算することができます。
これを「$xに5を代入する$」といい、また「$x=5を代入すると$」という言い方をすることもあります。
未知の変数に数値を代入すると、数値計算ができるようになり、（未知の変数がなくなれば）左辺や右辺はある数値を表すことになります。
代入した結果、左辺や右辺が同じ数値を表すことになれば、その代入した値は方程式を満たすといい、その値のことを方程式の解と呼びます。
未知の変数にある数を代入し、計算した結果、等式（もしくは不等式）を満たしている場合、その数をその等式（もしくは不等式）の「解」と呼びます。
逆に等式（もしくは不等式）を満たさない場合は、「解でない」と呼びます。
解は一つの場合もありますし、複数の場合もあり得ます。場合によっては、解が存在しない場合もあり得ます。
また解があったとしても、その個数が数え切れるとは限りません。つまり、無限個の解がある場合もあります。
ここで例を挙げます。
$2x=3$という等式に$x=5$を代入すると$10=3$という等式ができあがりますが、これは真でない等式ですので、$x=5$は等式$2x=3$の解ではありません。
$2x>3$という不等式に$x=5$を代入すると$10>3$という不等式ができあがりますが、これは真ですから、$x=5$は不等式$2x>3$の解です。
$2x=3+y$という等式に$x=5$を代入すると$10=3+y$という等式ができあがりますが、これは$y$の値によって成立もしますし、成立しない場合もあり得ます。このような場合、$x=5$は等式$2x=3+y$の解とはいいません(解の可能性はあります)。